Kẻ PD và BE vuông góc AC

Định lý phân giác: \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AN+NC}=\dfrac{AB}{AB+BC}\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AB+BC}=\dfrac{c}{a+c}\)

Tương tự: \(\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{b}{a+b}\)

Talet: \(\dfrac{PD}{BE}=\dfrac{AP}{AB}\)

\(\dfrac{S_{APN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}PD.AN}{\dfrac{1}{2}BE.AC}=\dfrac{AP}{AB}.\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{S_{BPM}}{S_{ABC}}=\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\) ; \(\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}-\left(S_{APN}+S_{BPM}+S_{CMN}\right)}{S_{ABC}}=1-\left(\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)

\(=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

2. Do ABC cân tại C \(\Rightarrow AC=BC=a\)

\(\dfrac{BC}{AB}=k\Rightarrow AB=\dfrac{BC}{k}=\dfrac{a}{k}\)

Do đó:

\(\dfrac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2.a.a.\dfrac{a}{k}}{2a.\left(a+\dfrac{a}{k}\right)\left(a+\dfrac{a}{k}\right)}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

Sửa đề: ΔABC cân tại A

a: Sửa đề: AB là trung bình nhân của AE và AH

CF//BH

CF\(\perp\)AB

Do đó: BA\(\perp\)BH

=>ΔBAH vuông tại B

Xét ΔBAH vuông tại B có BE là đường cao

nên \(AE\cdot AH=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{AE\cdot AH}\)

=>AB là trung bình nhân của AE và AH

b: Từ C, kẻ CG\(\perp\)CB, \(G\in AB\)

ΔABC cân tại A

mà AD là đường cao

nên D là trung điểm của BC

Xét ΔBCG có

D là trung điểm của BC

DA//CG

Do đó: A là trung điểm của BG

Xét ΔBCG có D,A lần lượt là trung điểm của BC,BG

=>DA là đường trung bình

=>CG=2DA

=>4DA^2=CG^2

Xét ΔCBG vuông tại C có CF là đường cao

nên \(\dfrac{1}{CF^2}=\dfrac{1}{CG^2}+\dfrac{1}{CB^2}\)

=>\(\dfrac{1}{CF^2}=\dfrac{1}{4DA^2}+\dfrac{1}{CB^2}\)

a: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên ED//BC và ED=1/2BC

Xét ΔGBC có GH/GB=GK/GC

nên HK//BC và HK=1/2BC

=>ED//HK và ED=HK

=>EDKH là hình bình hành

b: Để DEKH là hình chữ nhật thì ED vuông góc với DK

=>AG vuông góc với BC

=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

Để DEKH là hình thoi thì ED=DK

=>AG=1/2BC

=>AM=2/3*1/2BC=1/3BC(Với M là trung điểm của BC)

Xét tam giác ABC vuông tại A có AD vuông góc với BC

=> AB^2B=DC.BC; AC²=DC.BC

tam giác ABD vuông tại D có DF vuông góc với AB =>BD²=BF.AB

Tương tự DC²=CE.AC

Ta có \(\dfrac{AC^2}{AB^2}\)=\(\dfrac{DC.BC}{DB.BC}\)=\(\dfrac{DC}{DB}\)

=> \(\dfrac{AC^4}{AB^4}\)= \(\dfrac{DC^2}{DB^2}\)=\(\dfrac{CE.AC}{BF.AB}\)

=>\(\dfrac{AC^3}{AB^3}\)=\(\dfrac{CE}{BF}\)

2/ gọi E là giao của BH với AC; F là giao của CH với AB

=>BE vuông góc với AC; CF vuông góc với AB

Xét tam giác AC₁B có C₁F vuông góc với AB =>AC₁²=AF.AB (1)

Tương tự AB₁²=AE.AC (2)

C/m tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC (g.g)

=> \(\dfrac{AE}{AF}\)=\(\dfrac{AB}{AC}\) => AE.AC=AF.AB (3)

Từ (1);(2) và (3) => AB₁=AC₁

chung minh tu giac abek noi tiep duoc mot duong tron

Ta có

   n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²

             = (n² + 2 )² – (2n)²

            = (n² + 2 – 2n )(n² + 2 + 2n)

Vì n⁴ + 4 là số nguyên tố nên  n² + 2 – 2n = 1 hoặc  n² + 2 + 2n = 1

Mà   n² + 2 + 2n > 1 vậy  n² + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 1⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n⁴ + 4  là số nguyên tố.

Tu \(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)

Hay \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\)

Thay vao M ta co: \(M=\dfrac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\dfrac{2019}{2019}=\dfrac{2018}{2018}=\dfrac{2017}{2017}=\dfrac{2016}{2015+1}=1\)